未成年でも原付を購入することはできます。
ただし住民票が必要であることと、親の承諾が必要になります。
親の承諾が無ければ原付は現金でもローンでも購入できません。
そもそも未成年だとローンを組むことが出来ません。

親の承諾というのは承諾書を持参すれば承認となることもありますが、
一番いいのはバイクショップから自宅に電話してもらい、
そこで親の承諾を得るという方法が簡単で早くできます。
親と一緒に購入に行くのが何の問題もなく手に入れることが出来ます。

自分で承諾書を作成して購入し、親が後から承諾していないことを
ショップに通知すればショップ側は解約することになりますので
必ず親の承諾を得た上で購入するようにしましょう。